3asالرياضياتالدالتان الأسية واللوغاريتمية

الدوال الأسية X-->e^kx

آخر تحديث: 2026-09-22•محتوى معتمد وفق المنهاج الوزاري

مقدمة الدرس والشرح التأسيسي

المعادلة التفاضلية الأساسية للدالة الأسية

تطبيق نموذجي محلول:

أوجد الدالة

f(x)

القابلة للإشتقاق على

\mathbb{R}

والتي تحقق المعادلة التفاضلية

f'(x) = 5f(x)

والشرط الأولي

f(0) = 3

طريقة الحل:

نلاحظ أن المعادلة التفاضلية المعطاة هي من الشكل

f'(x) = kf(x)

.
نحدد قيمة الثابت

k

. من المعادلة

f'(x) = 5f(x)

، نجد أن

k=5

.
الحل العام للمعادلة التفاضلية من هذا الشكل هو

f(x) = Ce^{kx}

، حيث

C

ثابت حقيقي.
بالتعويض بقيمة

k=5

، يصبح الحل العام

f(x) = Ce^{5x}

.
نستخدم الشرط الأولي

f(0) = 3

لإيجاد قيمة الثابت

C

. نعوض

x=0

في عبارة الدالة:

f(0) = Ce^{5 \cdot 0} = Ce^0 = C \cdot 1 = C

.
بما أن

f(0) = 3

، فإن

C = 3

.
```python
import sympy
C_sym = sympy.Symbol('C')
equation = sympy.Eq(C_sym * sympy.exp(5 * 0), 3)
solution = sympy.solve(equation, C_sym)
print(solution[0])
```
إذن، قيمة الثابت

C

هي

3

.
نعوض قيمة

C

في الحل العام للحصول على الدالة النهائية.

f(x) = 3e^{5x}

محاور الدرس المتبقية

1مبرهنة: وجود ووحدانية حل المعادلة التفاضلية $f'(x) = kf(x)$ مع شرط أولي...
مقفل في التطبيق
2برهان الوجود للدالة $f(x) = e^{kx}$ كحل للمعادلة التفاضلية...
مقفل في التطبيق
3برهان وحدانية حل المعادلة التفاضلية $f'(x) = kf(x)$...
مقفل في التطبيق
4مثال: إيجاد الحل العام لمعادلة تفاضلية من الشكل $f'(x) = kf(x)$...
مقفل في التطبيق
5تطبيق: إيجاد الحل الخاص الذي يمر من نقطة معينة...
مقفل في التطبيق
6مبرهنة: الخاصية الوظيفية للدالة الأسية...
مقفل في التطبيق
7برهان الخاصية الوظيفية للدالة الأسية...
مقفل في التطبيق

أكمل دراسة هذا الدرس بالذكاء الاصطناعي

سجل حسابك المجاني في منصة نبراسي للوصول إلى كافة عناصر الدرس، المخططات الذهنية، والحلول المفصلة خطوة بخطوة.

تمرين تدريبي

اختبار سريع (Quiz)

بطاقة مراجعة

سجل مجاناً لإكمال الدرس