3asالرياضياتالدالتان الأسية واللوغاريتمية

دالة الأسية

آخر تحديث: 2026-09-22•محتوى معتمد وفق المنهاج الوزاري

مقدمة الدرس والشرح التأسيسي

نناقش في هذا النشاط طريقة أولر لإنشاء تمثيل تقريبي للدالة

f

التي تحقق

f'(x) = f(x)

f(0) = 1

. نستخدم خطوة

h = 0.5

. تعتمد الطريقة على التقريب

f(x_0 + h) \approx f(x_0) + hf'(x_0)

تطبيق نموذجي محلول:

بسّط العبارة التالية:

A = e^{2x} \times (e^{-x})^3 \times e^{x+1}

طريقة الحل:

نطبق خاصية القوى

(e^a)^b = e^{ab}

على الحد

(e^{-x})^3

A = e^{2x} \times e^{-3x} \times e^{x+1}

.
نطبق خاصية ضرب القوى

e^a \times e^b = e^{a+b}

لجمع جميع الأسس:

A = e^{2x - 3x + x + 1}

.
نجمع الحدود المتشابهة في الأس:

A = e^{(2-3+1)x + 1}

.
نحسب مجموع معاملات

x

A = e^{0x + 1}

.
نحسب

0x

A = e^{0 + 1}

.
نحسب

0+1

A = e^1

.
نستخدم `code_execution` للتحقق من التبسيط الجبري:
```python
import sympy
x = sympy.symbols('x')
expr = sympy.exp(2*x) * (sympy.exp(-x))**3 * sympy.exp(x+1)
simplified_expr = sympy.simplify(expr)
print(simplified_expr)
```
الناتج من `code_execution` هو `exp(1)`، مما يؤكد أن

A = e

.
نكتب النتيجة النهائية.

A = e

محاور الدرس المتبقية

1جدول القيم التقريبية للدالة $f$ باستخدام طريقة أولر....
مقفل في التطبيق
2إذا كانت الدالة $f$ تحقق $f'(x) = f(x)$، فإن الدالة $h(x) = f(x)f(-x)$ هي دالة ث...
مقفل في التطبيق
3بما أن الدالة $h(x) = f(x)f(-x)$ ثابتة، وقيمتها عند $x=0$ هي $1$، فإن $f(x)f(-x)...
مقفل في التطبيق
4نبرهن بالخلف أن الدالة $f$ لا تنعدم أبدًا على $R$....
مقفل في التطبيق
5نفرض وجود دالة أخرى $g$ تحقق نفس الشروط: $g'(x) = g(x)$ و $g(0) = 1$. نبرهن أن ا...
مقفل في التطبيق
6بما أن $k(x)$ ثابتة وقيمتها عند $x=0$ هي $1$، فإن $k(x)=1$ لكل $x \\in R$، مما ي...
مقفل في التطبيق
7لإثبات الخاصية $f(x+y) = f(x)f(y)$، نعرّف دالة مساعدة $i_y(x) = \frac{f(x+y)}{f(...
مقفل في التطبيق
8نستنتج من الخاصية $f(x+y) = f(x)f(y)$ أن $f(-x) = \frac{1}{f(x)}$....
مقفل في التطبيق
9باستخدام الخاصيتين $f(x+y) = f(x)f(y)$ و $f(-y) = \frac{1}{f(y)}$، يمكننا إثبات...
مقفل في التطبيق
10لإثبات الخاصية $f(nx) = [f(x)]^n$ لعدد صحيح نسبي $n$، نعرّف دالة مساعدة $j_n(x)...
مقفل في التطبيق
11مبرهنة وتعريف الدالة الأسية النيبيرية: هي الدالة الوحيدة $f$ القابلة للاشتقاق عل...
مقفل في التطبيق
12الدالة الأسية $\text{exp}(x)$ قابلة للاشتقاق على $R$، مشتقتها هي نفسها. وهي مستم...
مقفل في التطبيق
13نبرهن أن $\text{exp}(x) > 0$ لكل $x \\in R$ باستخدام البرهان بالخلف....
مقفل في التطبيق
14تتمتع الدالة الأسية بخواص جبرية هامة تسهل التعامل معها في العمليات الحسابية....
مقفل في التطبيق
15يُعرف العدد النيبيري $e$ بأنه قيمة الدالة الأسية عند $x=1$، أي $e = \text{exp}(1...
مقفل في التطبيق
16باستخدام الترميز الجديد $e^x$، يمكن إعادة صياغة خواص الدالة الأسية بشكل أكثر إيج...
مقفل في التطبيق
17أمثلة لتطبيق خواص الدالة الأسية في تبسيط العبارات الجبرية....
مقفل في التطبيق

أكمل دراسة هذا الدرس بالذكاء الاصطناعي

سجل حسابك المجاني في منصة نبراسي للوصول إلى كافة عناصر الدرس، المخططات الذهنية، والحلول المفصلة خطوة بخطوة.

تمرين تدريبي

اختبار سريع (Quiz)

بطاقة مراجعة

سجل مجاناً لإكمال الدرس