الاستمرارية

لكي تكون الدالة $f$ مستمرة عند $x=1$, يجب أن تتحقق الشروط التالية:
1. $f(1)$ معرفة.
2. $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ موجودة.
3. $\lim_{x \to 1^+} f(x)$ موجودة.
4. $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$.
نحسب قيمة الدالة عند $x=1$:
بما أن $x \ge 1$، نستخدم العبارة $2x+2$.
$f(1) = 2(1) + 2$
نستخدم `code_execution` لحساب القيمة:
```python
result = 2 * 1 + 2
print(result)
```
```
4
```
إذن، $f(1) = 4$.
نحسب النهاية على يسار $x=1$:
بما أن $x < 1$، نستخدم العبارة $x^2+3$.
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^2 + 3)$
نعوض $x=1$ في العبارة:
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = (1)^2 + 3$
نستخدم `code_execution` لحساب القيمة:
```python
result = 1**2 + 3
print(result)
```
```
4
```
إذن، $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 4$.
نحسب النهاية على يمين $x=1$:
بما أن $x \ge 1$، نستخدم العبارة $2x+2$.
$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (2x + 2)$
نعوض $x=1$ في العبارة:
$\lim_{x \to 1^+} f(x) = 2(1) + 2$
نستخدم `code_execution` لحساب القيمة:
```python
result = 2 * 1 + 2
print(result)
```
```
4
```
إذن، $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 4$.
نقارن القيم:
لدينا $f(1) = 4$، $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 4$، و $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 4$.
بما أن $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$، فإن الدالة $f$ مستمرة عند $x=1$.

الدالة $f$ مستمرة عند النقطة $x=1$.