Nibrasi Logoنبراسي
تسجيل الدخول
3asالرياضياتالاشتقاقية و الاستمرارية

قابلية الاشتقاق دالة عند عدد

آخر تحديث: 2026-09-22•محتوى معتمد وفق المنهاج الوزاري

مقدمة الدرس والشرح التأسيسي

لتكن ff دالة معرفة على الأقل على مجال من الشكل [x0;x0+a[[x_0; x_0 + a[ حيث x0x_0 و aa عددان حقيقيان مع a>0a > 0. نقول عن الدالة ff أنها تقبل الاشتقاق عند x0x_0 من اليمين إذا وفقط إذا كانت النهاية lim⁡x→x0+f(x)−f(x0)x−x0\lim_{x \to x_0^+} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} موجودة وتساوي عدداً حقيقياً ℓ1\ell_1. يسمى ℓ1\ell_1 العدد المشتق للدالة ff عند x0x_0 من اليمين، ونرمز له بـ fd′(x0)f'_d(x_0).

تطبيق نموذجي محلول:

\text{‫ادرس قابلية اشتقاق الدالة ‬} f(x)=x3−2xf(x) = x^3 - 2x \text{‫ عند النقطة ‬} x0=1x_0 = 1 \text{‫ ثم فسر النتيجة بيانياً.‬}
طريقة الحل:
\text{‫1. حساب قيمة الدالة عند ‬} x0=1x_0 = 1:\\\ f(1)=(1)3−2(1)=1−2=−1f(1) = (1)^3 - 2(1) = 1 - 2 = -1.
\text{‫2. حساب نهاية نسبة التزايد عند ‬} x0=1x_0 = 1:\\\ lim⁡x→1f(x)−f(1)x−1=lim⁡x→1(x3−2x)−(−1)x−1=lim⁡x→1x3−2x+1x−1\lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x^3 - 2x) - (-1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 2x + 1}{x - 1}.
\text{‫3. تبسيط العبارة:‬} \\\ \text{‫بما أن ‬} x=1x=1 \text{‫ هو جذر للبسط ‬} (13−2(1)+1=0)(1^3 - 2(1) + 1 = 0) \text{‫، فإن ‬} (x−1)(x-1) \text{‫ عامل للبسط. نقوم بالقسمة المطولة أو التحليل:‬} \\\ x3−2x+1=(x−1)(x2+x−1)x^3 - 2x + 1 = (x-1)(x^2 + x - 1). \\\ lim⁡x→1(x−1)(x2+x−1)x−1=lim⁡x→1(x2+x−1)\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x^2 + x - 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x^2 + x - 1).
\text{‫4. حساب النهاية باستخدام ‬} \text{code_execution}:
```python
from sympy import symbols, limit
x = symbols('x')
expr = x**2 + x - 1
limit_val = limit(expr, x, 1)
print(limit_val)
```
\text{‫الناتج:‬} \\\ ```
1
```
\text{‫إذن، ‬} lim⁡x→1(x2+x−1)=(1)2+1−1=1\lim_{x \to 1} (x^2 + x - 1) = (1)^2 + 1 - 1 = 1.
\text{‫5. الاستنتاج والتفسير البياني:‬} \\\ \text{‫بما أن النهاية عدد حقيقي ‬} (1)(1) \text{‫، فإن الدالة ‬} ff \text{‫ قابلة للاشتقاق عند ‬} x0=1x_0 = 1 \text{‫، والعدد المشتق هو ‬} f′(1)=1f'(1) = 1. \\\ \text{‫التفسير البياني: يقبل المنحنى ‬} (Cf)(C_f) \text{‫ مماساً عند النقطة ‬} (1,f(1))=(1,−1)(1, f(1)) = (1,-1) \text{‫ معادلته ‬} y=1(x−1)+(−1)  ⟹  y=x−2y = 1(x-1) + (-1) \implies y = x - 2.

\text{‫الدالة ‬} ff \text{‫ قابلة للاشتقاق عند ‬} x0=1x_0 = 1 \text{‫، والعدد المشتق هو ‬} f′(1)=1f'(1) = 1. \\\ \text{‫التفسير البياني: يقبل المنحنى ‬} (Cf)(C_f) \text{‫ مماساً عند النقطة ‬} (1,−1)(1,-1) \text{‫ معادلته ‬} y=x−2y = x - 2.

محاور الدرس المتبقية

  • 1إذا قبلت الدالة $f$ الاشتقاق عند $x_0$ من اليمين، فإن تمثيلها البياني $(C_f)$ يق...
    مقفل في التطبيق
  • 2ادرس قابلية اشتقاق الدالة $f(x) = x\\sqrt{x}$ عند $x_0 = 0$ من اليمين. الدالة $f...
    مقفل في التطبيق
  • 3لتكن $f$ دالة معرفة على الأقل على مجال من الشكل $]x_0 - a; x_0]$ حيث $x_0$ و $a$...
    مقفل في التطبيق
  • 4إذا قبلت الدالة $f$ الاشتقاق عند $x_0$ من اليسار، فإن تمثيلها البياني $(C_f)$ يق...
    مقفل في التطبيق
  • 5ادرس قابلية اشتقاق الدالة $f(x) = |x^2 - 9|$ عند $x_0 = 3$ من اليسار. أولاً، نكت...
    مقفل في التطبيق
  • 6إذا كانت الدالة $f$ تقبل الاشتقاق عند $x_0$ من اليمين ومن اليسار، ولكن العدد الم...
    مقفل في التطبيق
  • 7ادرس قابلية اشتقاق الدالة $f(x) = |x^2 - 9|$ عند $x_0 = 3$. لقد حسبنا سابقاً الع...
    مقفل في التطبيق
  • 8إذا كانت النهاية $\\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ تساوي $+\\inf...
    مقفل في التطبيق
  • 9هناك أربع حالات خاصة لأنصاف المماسات العمودية: 1. إذا كان $\\lim_{x \to x_0^+}...
    مقفل في التطبيق
  • 10ادرس قابلية اشتقاق الدالة $f(x) = \\sqrt{x}$ عند $x_0 = 0$ من اليمين. الدالة $f(...
    مقفل في التطبيق
  • 11إذا كانت الدالة $f$ قابلة للاشتقاق عند عدد $x_0$، فإنها مستمرة عند $x_0$....
    مقفل في التطبيق
  • 12عكس هذه المبرهنة ليس صحيحاً دوماً، أي أن استمرارية دالة عند نقطة لا تعني بالضرور...
    مقفل في التطبيق
  • 13الدالة $f(x) = |x|$ مستمرة عند $x_0 = 0$، ولكنها غير قابلة للاشتقاق عند $0$. لإث...
    مقفل في التطبيق
  • 14ادرس قابلية اشتقاق الدالة $f$ عند $x_0$ في كل حالة ثم فسر النتيجة بيانياً. 1. $f...
    مقفل في التطبيق
  • 15الحالة 1: $f(x) = -x^2+2 \\quad ; \\quad x_0 = 1$ نحسب $f(1) = -(1)^2 + 2 = 1$....
    مقفل في التطبيق
  • 16الحالة 2: $f(x) = \\sqrt{x-4} \\quad ; \\quad x_0 = 4$ الدالة $f(x) = \\sqrt{x-4...
    مقفل في التطبيق
  • 17الحالة 3: $f(x) = |x-3| \\quad ; \\quad x_0 = 3$ نحسب $f(3) = |3-3| = 0$. أولاً،...
    مقفل في التطبيق
  • 18الحالة 4: $f(x) = \frac{|x^2|}{x+2} \\quad ; \\quad x_0 = 0$ نلاحظ أن $|x^2| = x...
    مقفل في التطبيق

أكمل دراسة هذا الدرس بالذكاء الاصطناعي

سجل حسابك المجاني في منصة نبراسي للوصول إلى كافة عناصر الدرس، المخططات الذهنية، والحلول المفصلة خطوة بخطوة.

0
تمرين تدريبي
5
اختبار سريع (Quiz)
10
بطاقة مراجعة
سجل مجاناً لإكمال الدرس